Wie versprochen
werde ich jetzt mal anfangen euch zu erklaeren womit ich mich gerade so herumschlage. Die Grundlage des projektiven Denkens.
Meine grundsaetzliche Einstellung im Leben ( ihr wisst schon - trief, subbel) ist ja: die Dinge die ich machen muss wenigstens ein bisschen gerne zu machen. Laecheln und hoffen dass sie zurueckgrinsen. Und ja es gibt sehr schoene und spannende Sachen an der Geometrie zu finden. Wie eben die Sache mit dem lustigen projektiven Denken. Ist nur eine Spielerei, aber eine huebsche.
Also zuerst nehemen wir uns mal eine Anschauungsebene her. Was ist das? Schau kurz einmal nach vorne ohne etwas konkretes zu fokussieren und stelle dir genau an der Stelle eine Ebene vor und - so einfach ist das - da ist sie.
Allen von euch die Mathematik nur als Formelgezauber, das man braucht um die Dinge konkret zu machen die man sich in der Physik so huebsch vorstellen kann, betrachten, wird das sehr liegen. Meine Ebene sieht nicht so gut aus. Aber egal. Auf unserer Ebene kann man, wenn man genau hinsieht, Punkte und Geraden finden. Wir koennen ja mal ein wenig damit rumspielen, das uebliche halt, verbinden zweier Punkte, schneiden zweier Geraden.. aber halt.. Da stimmt was nicht, wir koennen fuer zwei Geraden immer einen Schnittpunkt finden, nur nicht fuer die parallelen. Das ist doch ungerecht, oder? Aber weil wir uns die Ebene doch eigentlich selber vorgestellt haben, kann ja niemand was dagegen haben, wenn wir uns einfach noch fuer jeweils 2 solche Geraden einen Schnittpunkt (F1) dazu vorstellen. Am besten man stellt ihn sich sehr unvoreingenommen vor, also nicht so plump unendlich nennen, sondern Fernpunkt und dann mal weiter sehen. 2 Geraden schneiden sich in genau einem Punkt, also folgt sofort, dass, wenn wir uns noch 2 andere Parallelen vorstellen, diese einen eigenen neuen Fernpunkt (F2) brauchen.
Und nun ist es schon wieder so ein Unglueck. Fuer diese 2 Punkte gibt es bisher noch keine Gerade die sie verbindet. Und alle anderen Punkte haben sowas aber. Mist. Also einmal schnell blinzeln, schlucken und zack, wir stellen uns noch eine Ferngerade vor, die diese beiden Punkte verbindet. Aber soll das denn ewig so weitergehen? Nein nu ist Schluss. versprochen. Die Ferngerade hat genau einen Schnittpunkt mit jeder anderen Gerade und wenn ich mir einen Fernpunkt nehme und einen anderen Punkt, dann kann ich genau eine Gerade finden die beide verbindet.
Ja super. Und jetzt fangen wir mal an ein bischen Leben auf die Ebene zu bringen. Wie waere es mit einem Dreieck? Schnipp, da ist eins.
Und das werden wir jetzt mal ein bisschen aergern, Aber nicht irgendwie, wir wollen es nur ein bischen ziehen - zerren - stauchen - quetschen. Sonst nix. Eigentlich soll es grundsaetzlich so bleiben wie es ist, also kein Punkt soll ueber eine Gerade wandern, nur dicker oder duenner, so zum Beispiel ist zulaessig:
Aber da kann man ja noch viel mehr dehnen, immer weiter bis zur Ferngerade, durch die wollen wir es naemlich einmal durchziehen.
Huh, was ist da jetzt passiert? Genau, Punkt 2 ist auf den Fernpunkt gerutscht. Und weil das so gut geht, kommt jetzt Punkt 3 dran. Etwas merkwuerdig, aber absolut ein Dreieck wie es vorgeschrieben ist (3 Strecken und 3 Schnittpunkte):
Jetzt schnell die 3 wierder in’s Reelle zehen und noch die 1 ein bisschen verschoben.
Das ist ja inzwischen fast langweilig, also holen wir es mal wieder ganz vor:
Ne Moment mal, das ist nicht das Dreieck mit dem wir begonnen haben, irgendwer hat hier einen Punkt ueber eine Linie gezogen, etwas gespiegelt, selbst wenn ich alle Abstaende wieder so hinschiebe wie sie vorher waren…
Noch mal zum Vergleich:
Das war mein Dreieck!
Wo also ist der Trick? Oder anders, was soll mir das jetzt sagen?
Das bedeutet nichts anderes, als dass sich unsere Ebene, die wir uns so huebsch gerade vorgestellt haben, mit einem kleinen bisschen weiterspinnen, in eine einseitige Flaeche verwandelt hat. Es gibt kein Oben und kein Unten mehr. Als haetten wir ein Moebius Band daraus geklebt. Und ungefaehr das haben wir gerade wirklich gemacht. Zur besseren Anschauung schubse man mal ein Dreieck durch (!) so ein Band (Nicht draufdenken - sondern rein das ist wichtig).
Und so kann Mathe lernen aussehen. Manchmal…