The jelli life

Beim Denken dieses komischen Satzes habe ich mich gestern erwischt. Und hier waere sie:

An Berlin ist ja ja auch so toll, dass es fast alles gibt. Da bekommt man eine Mail vom Professor mit dem Tipp doch mal in dieses oder jenes seltene Buch reinzulesen und in irgendeiner Zweigbibliothek hier findet es sich dann auch. Es war eine Zweigbibliothek der FU. Ich mag ja Bibliotheken sehr gerne. Bei uns gibt es nur eine grosse, wo einen all das ganze Wissen aus vielen Ecken anstaunt. Auch schoen, aber diese kleinen Raeume mit den grossen Regalen und den Tischen am Fenstern sind schon sehr gemuetlich.
Dann kann man hier sehr toll Fahrrad fahren. Ich habe hier ein tolles Fahrrad, eine passende Jacke und eine schicke Tasche gefunden, so dass sogar das Fahren bei Schneematsch, der hier ueberall rumliegt, besonders toll ist.

Mal nebenbei bemerkt: Ich bin mir sicher, die machen hier irgendwas mit den Radwegen,
so dass sie besonders glatt werden. Man kann hier so toll rutschen wie sonst selten.

Also was liegt naeher als mit dem Rad zur Bibo zu fahren. Habe ich auch gemacht, klar. Unterwegs hat es dann unglaublich zu schneeregnen angefangen, ueberall war Wasser. Als ich dann gluecklich ankam blieb mir nichts uebrig als mir einen Tisch weit hinten zu suchen, meine Hose auf die Heizung zu haengen (Jacke konnte man unauffaellig am Eingang trocknen), die Socken daneben und den Pullover in die andere Ecke. Gluecklicherweise hatte ich, aus verschiedenen (anderen) Gruenden noch eine Strumpfhose und etwas, das wie ein Rock aussah, in der Tasche.
Nach etlichen Stunden musste ich dann leider gehen (Kopf voll) und irgendwie hatte ich auch vergessen, dass es komisch sein koennte mit einem Stapel Klamotten im Arm mit Rock, zu kurzer Strumpfhose und fast barfuß durch die Bibo zu laufen. Mittlerweile war meine Muetze getrocknet und weil ich keine Hand mehr fuer sie fei hatte setzte ich sie eben auf den Kopf - naheliegend. Jedenfalls kam ich mir fuer einen Moment sehr komisch (und anscheinend allen um mich jerum befindlichen Menschen ebenfalls) vor und jener, oben erwaehnte Satz, ging mir durch den Kopf.
Jedenfalls war es doch sehr witzig und ihr seht: Ich fuehle mich hier sehr wohl. Hach.

Heute moechte ich euch mal wieder einen meiner Lieblingsbeweise vorstellen. Wie sicher alle wissen ist unter 3 aufeinenderfolgenden Zahlen immer eine durch 3 teilbare dabei und unter 4 aufeinanderfolgenden Zahlen eine durch 4 teilbare… und schliesslich ganz allgemein unter k solchen Zahlen eine durch k teilbare.
Was aber passiert, wenn ich das nun ineinander verschachteln will? Immerhin sind ja in einer Menge mit 6 aufeinanderfolgenden Zahlen auch immer 5 bzw 4 bzw 3 … zusammengehoerige zu finden.
Was ich also tun moechte ist (a)*(a+1)*…*(a+5) erst durch 6 dann durch 5 danach durch 4,3 und schliesslich 2 zu teilen.
Dabei kann man sich jetzt Sorgen machen, ob denn nocht schon wegen dem teilen durch 4 alle geraden Zahlen weg sind und die 2 dann quasi ohne Gegenstueck uebrig bleibt. Denn schliesslich gibt es ja in den meisten solchen Mengen auch die ein oder andere Primzahl, die einfach durch niemanden teilbar ist. Muss man aber nicht, also zumindest das mit den Sorgen kann man ruhig lassen.
Denn anders und kuerzer formuliert untersuche ich ja nur den Quotienten: (a*(a+1)*…*(a+k-1)):k!
Und der sieht aus wie ein Binomialkoeffizient - also wie (a+k-1) ueber k.

Solange ich kein LaTex fuer Blogs gefunden habe, muesst ihr die Rechnung leider selber machen, das sieht einfach nur verwirrend aus, wenn ich das als Text schreibe, sie ist aber wirklich nur ganz klein und suess.

Von einem Binomialkoeffizienten weiss man aber, dass er, oder nennen wir ihn lieber n ueber k, die Anzahl der k-elementigenTeilmengen einer n-elementigen Grundmenge berechnet. Und so eine Anzahl ist immer eine natuerliche Zahl. Wenn man das nicht weiss und auch nicht glauben moechte fuehrt die Ueberlegung dahin ueber das Pascalsche Dreieck oder vollstaendige Induktion.

Wie passt das jetzt nochmal zum Problem?
Ok, das heisst ich kann die k aufeinanderfolgenden Zahlen erst durch k dann duch k-1, dann durch undsoweiter teilen und am Ende bleibt eine natuerliche Zahl uebrig, also die Rechnung geht auf.

Das ist schon sehr beeindruckend, wenn man bedenkt, daß Zahlen, mit all den scheinbar wild verspregten Primzahlen mittendrind, so ordentlich sortiert sind.

Vielen Dank an Jill, die mich motiviert hat, mal wieder an einem meiner Lieblingsbeweise zu denken. Die Stuhllehne haelt uebrigens immer noch, ich habe sogar schon mal kurz darauf Probegestanden.

Ich habe es geschafft, hier seht ihr den erstaunlichen und schoenen Beweis:

dafuer, dass die Summe der ersten n ungeraden Zahlen eine Quadratzahl ist.

Ps: Ich bin natuerlich nur bis n=7 gekommen, aber es ist doch hoffentlich klar, wie man das verallgemeinert.

habe ich mich, wie an so vielen Samstagen mit Gerald getroffen und versprochen noch ein paar Bemerkungen zu unserem Gespraech an dieser Stelle zu hinterlassen. Bei dem Paradoxon ueber das wir vielleicht gestolpert sind, handelt es sich um das sogenannte Bertrandsche Paradoxon. Es ist ganz unten auf der Seite, vielleicht hat es ja wirklich was mit dem Dilemma gestern zu tun?

Dann wolte ich dir noch den schoenen Weg vom Chinesischen Restsatz zur Multiplikativitaet der Eulerschen Phi-Funktion kurz anreissen:
Zuerst haben wir also ein Kriterium fuer die Eindeutige Loesbarkeit eines Kongruenzgleichungssystems (Die Moduln sind relativ prim), das wir erst mal elementar (ausrechnen) beweisen. Daraus leiten wir einen sehr wichtigen Isomorphismus der Restklassen von m=n1*n2*…*nl (teilerfremd, wie in der Vorraussetzung zum C.R.)
R(m)< ->R(n1)xR(n2)x…xR(nl) her, das ist genau der den man manchmal auch zuerst beweist und daraus dann den Reststatz folgert..)
Nun wollen wir Phi(m) herausfinden und betrachten zuerst m=m1*m2 (teilerfremd).
Dafuer schaut man sich das Problem
x=a1(modm1)
x=a2(modm2)
an. Wenn wir jetzt a1 in R(m1) und a2 in R(m2) variieren lassen, wieviele solcher verschiedenen und eindeutigen x koennen wir bestimmen? Mit dem Chinesischen Restsatz genau eins fuer jedes Paar (a1,a2). Und es sind (nach Definition von m1,m2 genau die x die teilerfremd zu m sind). Also brauchen wir, um die Anzahl aller zu m teilerfremden Zahlen zu kennen, nur die Menge der Paare (a1,a2) zu bestimmen. Wieviele Elemente sind in den jeweiligen Restklassen? Genau Phi(m1) bzw. Phi(m2)!
Damit folgt: Phi(m)=Phi(m1)*Phi(m2). Das kann jetzt bis zur Zerlegeung in Primzahlpotenzen iteriert werden (na gut den pathologischen Fall Phi(1) zeigt man schnell so).
Also ist er nicht schoen und motiviert zu schoenem, dieser Chinesische Restsatz? Ja das ist rethorisch.

aber inzwischen schon ziemlich guter Freund hat mir ein tolles Buch von Ebbinghaus empfohlen, und ich werde sicher jede naechste freie Minute mit ihm (dem Buch selbstverstaendlich) verbringen. Alles andere Neue ist nicht halb so spannend.

Gerald und ich, uns am Wochenede so toll unterhalten haben und ich sehr viel lernen konnte,mal wieder ein Eintrag, der wahrscheinlich nicht sehr viele hier begeistert. Die Idee ist von J. Barry Love. Einfach schoen.

Ach ja, die Folge musste natuerlich eine mit Logarithmus sein…
:-)

werde ich jetzt mal anfangen euch zu erklaeren womit ich mich gerade so herumschlage. Die Grundlage des projektiven Denkens.
Meine grundsaetzliche Einstellung im Leben ( ihr wisst schon - trief, subbel) ist ja: die Dinge die ich machen muss wenigstens ein bisschen gerne zu machen. Laecheln und hoffen dass sie zurueckgrinsen. Und ja es gibt sehr schoene und spannende Sachen an der Geometrie zu finden. Wie eben die Sache mit dem lustigen projektiven Denken. Ist nur eine Spielerei, aber eine huebsche.
Also zuerst nehemen wir uns mal eine Anschauungsebene her. Was ist das? Schau kurz einmal nach vorne ohne etwas konkretes zu fokussieren und stelle dir genau an der Stelle eine Ebene vor und - so einfach ist das - da ist sie.
Allen von euch die Mathematik nur als Formelgezauber, das man braucht um die Dinge konkret zu machen die man sich in der Physik so huebsch vorstellen kann, betrachten, wird das sehr liegen. Meine Ebene sieht nicht so gut aus. Aber egal. Auf unserer Ebene kann man, wenn man genau hinsieht, Punkte und Geraden finden. Wir koennen ja mal ein wenig damit rumspielen, das uebliche halt, verbinden zweier Punkte, schneiden zweier Geraden.. aber halt.. Da stimmt was nicht, wir koennen fuer zwei Geraden immer einen Schnittpunkt finden, nur nicht fuer die parallelen. Das ist doch ungerecht, oder? Aber weil wir uns die Ebene doch eigentlich selber vorgestellt haben, kann ja niemand was dagegen haben, wenn wir uns einfach noch fuer jeweils 2 solche Geraden einen Schnittpunkt (F1) dazu vorstellen. Am besten man stellt ihn sich sehr unvoreingenommen vor, also nicht so plump unendlich nennen, sondern Fernpunkt und dann mal weiter sehen. 2 Geraden schneiden sich in genau einem Punkt, also folgt sofort, dass, wenn wir uns noch 2 andere Parallelen vorstellen, diese einen eigenen neuen Fernpunkt (F2) brauchen.

Und nun ist es schon wieder so ein Unglueck. Fuer diese 2 Punkte gibt es bisher noch keine Gerade die sie verbindet. Und alle anderen Punkte haben sowas aber. Mist. Also einmal schnell blinzeln, schlucken und zack, wir stellen uns noch eine Ferngerade vor, die diese beiden Punkte verbindet. Aber soll das denn ewig so weitergehen? Nein nu ist Schluss. versprochen. Die Ferngerade hat genau einen Schnittpunkt mit jeder anderen Gerade und wenn ich mir einen Fernpunkt nehme und einen anderen Punkt, dann kann ich genau eine Gerade finden die beide verbindet.
Ja super. Und jetzt fangen wir mal an ein bischen Leben auf die Ebene zu bringen. Wie waere es mit einem Dreieck? Schnipp, da ist eins.

Und das werden wir jetzt mal ein bisschen aergern, Aber nicht irgendwie, wir wollen es nur ein bischen ziehen - zerren - stauchen - quetschen. Sonst nix. Eigentlich soll es grundsaetzlich so bleiben wie es ist, also kein Punkt soll ueber eine Gerade wandern, nur dicker oder duenner, so zum Beispiel ist zulaessig:

Aber da kann man ja noch viel mehr dehnen, immer weiter bis zur Ferngerade, durch die wollen wir es naemlich einmal durchziehen.

Huh, was ist da jetzt passiert? Genau, Punkt 2 ist auf den Fernpunkt gerutscht. Und weil das so gut geht, kommt jetzt Punkt 3 dran. Etwas merkwuerdig, aber absolut ein Dreieck wie es vorgeschrieben ist (3 Strecken und 3 Schnittpunkte):

Jetzt schnell die 3 wierder in’s Reelle zehen und noch die 1 ein bisschen verschoben.

Das ist ja inzwischen fast langweilig, also holen wir es mal wieder ganz vor:

Ne Moment mal, das ist nicht das Dreieck mit dem wir begonnen haben, irgendwer hat hier einen Punkt ueber eine Linie gezogen, etwas gespiegelt, selbst wenn ich alle Abstaende wieder so hinschiebe wie sie vorher waren…
Noch mal zum Vergleich:

Das war mein Dreieck!
Wo also ist der Trick? Oder anders, was soll mir das jetzt sagen?
Das bedeutet nichts anderes, als dass sich unsere Ebene, die wir uns so huebsch gerade vorgestellt haben, mit einem kleinen bisschen weiterspinnen, in eine einseitige Flaeche verwandelt hat. Es gibt kein Oben und kein Unten mehr. Als haetten wir ein Moebius Band daraus geklebt. Und ungefaehr das haben wir gerade wirklich gemacht. Zur besseren Anschauung schubse man mal ein Dreieck durch (!) so ein Band (Nicht draufdenken - sondern rein das ist wichtig).
Und so kann Mathe lernen aussehen. Manchmal…